теория информации, идеальный шифр и черные дыры

В продолжение предыдущих постов: в Стекловке есть запись лекции Холево — введение в квантовую информатику для неспециалистов. Он один из тех, кто стоял у истоков этой области ещё в 70-ых. Конечно, какие-то математические знания для понимания требуются, но в целом это попыка элементарного введения, особенно вначале. Далее местами упоминаются более сложные вещи, которые в т.ч. и мне неизвестны (типа сходимости в слабой топологии), но на общее понимание доклада это не влияет. Круг освещаемых тем

• Неравенства белла
• ЭПР
• Квантовые псевдотелепатические игры (игра Мермина-Переса)
• Когерентные состояния (паршиво изложено, но на большее, видимо, времени было недостаточно; лучше бы было по классике: коммутационные соотношения, алгебры Ли и т.д.).
• POVM
• Церковь большого гильбертова пространства
• Каналы, гауссовы каналы, и доказательство «minimum output entropy conjecture» (сглотнуто). Доказательство этой гипотезы — действительно один из серьёзных результатов последних лет:^*

  Единственный результат в нашей узкой области, наверное, который туда удалось бы пропихнуть — доказательство «Gaussian conjecture», про которое выше написал.

Если у кого-то есть свободный час времени, за который якобы можно понять, что есть квантовая теория информации, то можно посмотреть.

На том же youtube-канале есть лекция-введение в КТП. Я не смотрел всё, поглядел только начало. Объяснения очень индуктивные, детские, классические (как в книжках). В общем, всё очень понятно. Но как будет другим — не знаю. Вначале автор фактически один-в-один рассказывает квантование электромагнитного поля (решение задачи об осцилляторе — стандартная задача из книжек), просто полевыми операторами выступают не â и â^† (так называемые «лестничные» операторы или операторы рождения и уничтожения), а произвольные полевые — ψ̂ и ψ̂^†. В общем, «вторичное квантование» в самой его типичной реинкарнации.

Интересно, что по криптографии там тоже доклад есть. Докладчик — некто Зубков. Я ожидал, честно говоря, худшего, но оказалось, что не всё так плохо. Первая половина доклада про исторические шифры и военное крипто. Во второй он что-то пытался рассказать про современные вещи, но вообще не вдаваясь в детали. На 45:25 он говорит про (см. слайды) «условия максимальности периода». Никогда о таком не слышал. Про ГПСЧ он говорит, что это, с точки зрения математики, конечный автомат, так что как ни крути, случайности там не будет. Якобы его можно представлять через p-адические числа и ещё так анализировать(?). Про то, что настоящая случайность берётся только из физических процессов, нет ни слова, как и про то, что современная криптография в плане математики теснее всего связана с теорией сложности (complexity theory).

---

^*Оригинальное доказательство тут. На неделю позже вывели в архив статью с альтернативным и более простым доказательством (на основе теории мажоризации), где доказано более сильное утверждение, из которого следует исходное. Статья прошла в Nature Communications. Недавно вышла ещё одна с обсуждениями результатов и их влиянием на разные вопросы в области теории квантовых коммуникаций. По формату PRL, куда её послали — не знаю. Кроме того, обещают ещё одно альтернативное доказательство на основе методов КТП.

Вообще, гауссова гипотеза (дословно — «гипотеза об оптимальных гауссовых ансамблях») — древняя штука. В случае обычных (тепловых) состояний она сводится к другой гипотезе — о том, что энтропия на выходе канала минимизируется, если на вход подан вакуум. Последние лет 15 эту последнюю гипотезу пытались доказать, и всё было безуспешно. В каких-то тривиальных случаях она доказывалась элементарно, в общем случае — нет. Ну, а исходня гипотеза, в самом общем её виде, открыта до сих пор. Например, все наши расчёты опираются на верность этой гипотезы. Если гипотеза будет неверна, значение результаты полностью не потеряют, но их фундаментальность поуменьшится.

Смысл для людей со стороны можно пояснить примерно так: у вас есть электромагнитные волны, и вы передаёте через них информацию. Сколько бит можно передать (даже в случае простейшего теплового шума)? Этот же вопрос можно поставить про оптоволокно, модель которого, как и модель free space transmission, примерно описывается одним из типов гауссовых каналов. Плюс гауссов шум — он самый поганый для передачи информации, поэтому даже если канал где-то не такой, это даёт оценку по наихудшему случаю.

Если вы ничего не знаете про квантовую механику и попытаетесь посчитать пропускную способность такого канала, вы получите абсурдный, в общем случае, результат: C=log₂(1+P/N), где P — мощность сигнала, а N — шум. Это стандартная формула из учебников по теории информации. Итак, если шум стремится к нулю, пропускная спсобность стремится к бесконечности, что физически абсурдно. Если вы остаётесь в рамках классической теории, у вас нет возможности получить правильный результат. Настоящая теория информации должна быть квантовой. В последней как раз оказывается, что N≠0, потому что есть неуменьшаемый вакуумный шум (та самая знаменитая нулевая энергия). После его учёта получается вполне корректная формула. Результат в некотором смысле фундаментален, потому что человечество уже больше 100 лет передаёт информацию через электромагнитные волны, а пропускную способность такого канала знало только приближённо (тут надо произнести ряд оговорок про модель, но даже простая трактовка не сильно искажает суть).

Доказательство, как и положено, не обошлось без политики, срачей, выяснения и разрывов отношений и вообще. Когда на кону стоит, чьи фамилии и в каком порядке будут написаны в основополагающем результате, в ход идёт всё. Даже самый надёжный гарант может кинуть. Никому нельзя доверять, даже своим. Не стоит делиться наработками, частичными результатами, обсуждать их. Даже самая мелкая утечка может повлиять на то, что конкуренты получат доказательство немного раньше, а вас пошлют лесом. Большие деньги — это большая грязь. Вот в большой науке то ж самое. ☺

К слову, я об этом доказательстве узнал из архива, хотя его во многом сделали у нас люди, которых вижу ежедневно. Конечно, я знал, что они работают над этой проблемой, но не знал, что уже так близко подошли к решению, что вот-вот уже статья будет. Когда статья уже лежала в архиве (я и большинство других об этом ещё не знали), нам о существовании доказательства шёпотом сообщали окольными путями третьи люди под NDA. Это такой цирк и маразм, что даже вообразить сложно.

Где-то видел запись драки между докладчиками на научной конференции, примерно как это выглядит иногда в парламентах.

Для таких ваших постов нужен даже не ФПП, а какой-то другой ФП. Потому что не всегда можно осмыслить инфу сразу, со всеми ссылками, а затем спустя чуть ли не годы может внезапно понадобиться. И приходиться мучительно подбирать ключевые слова для поиска.

Classical noise assists the flow of quantum energy by `momentum rejuvenation'
(Submitted on 30 May 2014)

Еще из трогательных новостей: квантовый компьютер опять запретили.

Аннотация доклада на тему «рисования стрелок» [1] и сверхплотного кодирования [2], [3] [слив без ссылки]:

The communication power of quantum theory

[censored] We first address the question: How much information can a transmitted quantum system fundamentally communicate? We briefly introduce the principle of quantum information causality, which states the maximum amount of quantum information that a transmitted quantum system can communicate as a function of its Hilbert space dimension, independently of any quantum physical resources previously shared by the communicating parties.

The second part of the talk considers superdense coding within the framework of general probabilistic theories and addresses the question of why in quantum theory, no more than two bits can be communicated by transmission of a single, entangled, qubit. We introduce hyper dense coding in general probabilistic theories: superdense coding in which N>2 bits are communicated by transmission of a system that locally encodes at most one bit, and present protocols with N arbitrarily large. Our hyperdense coding protocols imply super additive classical capacities: two entangled systems can encode N>2 bits, even though each system locally encodes at most one bit. Our protocols violate either a reversibility condition or tomographic locality.

Среди работ автора пока нашлось только это по теме (PRL-2013). Ещё обнаружилась диссертация автора, там этому посвящена четвёртая глава. По сути это попытка вывести самые общие ограничения на передачу информации опираясь (только?) на принцип причинности.

Бакалавр и диссер были в Кембридже, руководитель — тот самый Кент, который изобрёл релятивистский BC. А после диссера он, видимо, перебрался к Массару/Пиронио, т.к. тот, как и автор, тоже занимается много неравенствами Белла.

Изучение запутанности между двумя чёрными дырами.

В тему квантовой термодинамики:

Further, we quantify the time or number of steps it takes to cool a system to any particular temperature. Our argument relies on the heat capacity of the bath being positive for large temperatures, and we show that if this is not the case then perfect cooling in finite time is in principle possible. Our results also clarify the connection between two versions of the third law (the Unattainability Principle, and the Heat Theorem), and place ultimate bounds on the speed at which information can be erased.

Т.е. на скорость уничтожения информации тоже могут быть наложены какие-то фундаментальные физические ограничения.

Немножно на тему бомовской механики и свободы выбора:

Is Bohmian Mechanics incompatible with free will/choice?

Из привата на эту тему: доклад

Is Bohmian Mechanics self-consistent?

Abstract: According to quantum theory, the outcomes of measurements are generally not deterministic. "Single-world" theories (such as Bohmian mechanics) add additional elements to quantum theory in order to restore determinism. In this talk, I will argue that such single-world theories cannot be self-consistent in the following sense: any attempt to use a single-world theory to describe an observer who himself applies the theory necessarily results in a contradiction. © Renner

Теория просто обязана быть внешней по отношению к наблюдателю? Включение наблюдателя в часть эксперимента в принципе невозможно? Проблема измерений — лишь проблема классичности нашего сознания, а потому принципиально неразрешима?

Ещё один тематический канал. Он от IHES, и там много на французском.

Может есть какие-то неизвестные уровни реальности. И если представить, что их все можно учесть, то и наблюдателя нет, времени нет, измерений нет. Есть только супердетерминизм, заданный некими высшими уровнями абстракций. Т.е., эдакий солипсизм наизнанку: не наблюдатель есть — мира нет, а мир есть — наблюдателя нет. Поэтому и все теории неполны.

Хорошо сказано. ☺

В процессе познания мира выяснилось: мир объективно есть, нас не существует. ☺

Только «не существует» ровно в том смысле, что не существует по отдельности (мы — отдельно, мир — отдельно), т.е. мы являемся частью мира и не можем вынести себя за его рамки.

И в этом смысле тоже. Хотя, кому-то хочется переселиться на другой глобус, кому-то — вынести себя в иные миры (многомировая интерпретация, видимо, навеяна чем-то таким). Это уже вопрос философских предпочтений.

— Всего существует четыре фундаментальных взаимодействия между частицами: (1) Гравитация, которая подчиняется данному закону обратных квадратов: [...]
— Окей.
— (2) Электромагнетизм, который подчиняется данному закону обратных квадратов: [...] а также уравнениям Максвелла.
— А также что?
— (3) Сильное ядерное взаимодействие, которое подчиняется... эээ... ну, эээ... оно удерживает протоны и нейтроны вместе.
— Понятно.
— Оно сильное. И (4) Слабое взаимодействие. Оно [бу–бу–бу] радиоактивный распад [бу–бу–бу].
— Это не предложение вообще. Вы лишь сказали "радио–
— И вот они все четыре фундаментальных взаимодействия! Из этих четырёх взаимодействий есть одно, которое мы до конца не понимаем.
— Это слабое или сильное?
— Это гравитация.

Очень тонкий юмор. :)